拱坝应力分析方法—拱梁分载法（一）

张良友

众所周知，大坝是水电站的重要组成部分，而拱坝又因能充分发挥材料的性能，经济性和安全性优越而备受青睐。拱坝是一个空间超静定的壳体结构，其几何形状和边界条件都很复杂，难以确定坝体应力状态。目前拱坝应力分析的常用方法有拱梁分载法、有限单元法和模型试验法等。以往采用的圆筒法、纯拱法等计算方法，由于其计算精度低，已经不能满足现代工程设计需要，基本不再使用。
拱梁分载法作为一种传统拱坝应力计算方法，已有70多年的历史，积累了丰富的实践经验，并建立了一套较完整的应力控制标准。我国拱坝设计规范规定拱梁分载法是拱坝应力分析的基本方法。对高拱坝或情况比较复杂的拱坝，如坝内设置大孔洞、地基条件复杂等，除采用拱梁分载法计算分析外，还应进行有限元法分析；根据工程的重要程度，必要时还应采用非线性有限元法进行分析。
一、基本原理
拱梁分载法是将拱坝视为由若干水平拱圈和竖直悬臂梁组成的空间结构，坝体承受的荷载一部分由拱系承担，一部分由梁系承担，拱和梁的荷载分配由拱系和梁系在各交点处变位一致的条件来确定。梁是静定结构，应力不难计算；拱的应力可按纯拱法计算。荷载分配可采用试载法，先将总的荷载试分配由拱系和梁系承担，然后分别计算拱、梁变位。第一次试分配的荷载不会恰好使拱和梁共轭点的变位一致，必须再调整荷载分配，继续试算，直到变位接近一致为止。近年来由于计算机的应用，可以通过求解节点变位一致的代数方程组来求解拱和梁的荷载分配，从而可避免繁琐的试算。
在计算节点变位这一过程当中，拱梁分载法尚需要一些简化假定和简化处理方式：（1）坝体混凝土和基础岩石均为均质的各向同性弹性体；（2）拱坝与基岩的连接面在平面上与拱弧线正交，即为半径方向；（3）坝体轴向应力沿坝厚方向为直线分布；（4）采用结构力学的平截面假定，即拱截面在受力变形后仍维持平面；（5）拱系统与梁系统在一定范围内，拱（或梁）的分载是按线性分布，整个拱坝结构的受力特性可用有限的几个拱系统杆件单元和梁系统杆件单元来反映；（6）地基变形采用伏格特（Vogt）地基假定。
二、调整向数选择。
应用拱梁分载法关键是拱梁系统的荷载分配。拱系和梁系承担的荷载要根据拱梁各交点（称为共轭点）变位一致的条件来确定。空间结构任一点的变位分量共有六个，即三个线变位和三个角变位，如某交点的六个变位分量为：径向变位Δr、切向变位Δs、竖向变位Δz、绕竖向z轴的转角变位θz、绕切向的转角变位θs和绕径向轴的转角变位θr。如下图所示。

拱的6个变位分量

梁的6个变位分量
从理论上讲，应该要求坝体各共轭点的这六个变位分量都一致，即六向全调整。但这样将增加求解的复杂性和计算工作量。作为壳体，θr一般不出现，竖向变位Δz除双曲拱坝外数值很小，可以忽略不计。再考虑壳体理论中两个相互垂直面上扭矩近似相等的条件，角变位θz和θs不是独立而是相互关联的，只要θz变位一致，θs也就自动满足相等的要求。因此，对于拱梁交点的变位，只根据径向变位Δr、切向变位Δs及绕竖向z轴的转角变位θz三个变位分量一致的条件，就可以决定荷载的分配，称为三向调整。如果增加绕切向的角变位θs的协调条件即为四向调整。如果再增加竖向变位协调条件即为五向调整。对于高坝，宜采用不少于四向变位调整的拱梁分载法进行计算。
三、拱梁体系与荷载划分
1.拱梁体系的设置
采用拱梁分载法计算拱坝变位和应力时，理论上切取拱、梁单元的数量越多，计算结果越精确。实际计算中通常只需切取有限数目的拱、梁单元作为代表进行分析，其结果就可以满足工程设计需要。
拱圈单元个数的选取，应根据坝高、地质和地形条件确定。如地质条件均一、岸坡变化不大，水平拱可按等间距布置；如果地基的变形模量或岸坡形状（岸坡角）变化较大，拱圈单元的个数和间距应能体现这种地形和地质上的变化。梁布置在河谷最深处及拱端点，悬臂梁与水平拱成正交体系，如河床段较宽则需在河床坝段适当增加梁数。
采用“梁站在拱端上”的布置，当河谷最深处只有一个拱冠梁时，如拱圈个数为n，则梁的个数应为2n-1个。除基础节点外，内部节点数为（n−1）的平方，河床部位每增加一个悬臂梁，将增加n−1个内部节点。
拱梁体系的具体切取方法如下：
（1）确定水平拱圈。拟定拱圈计算层数，选定各层计算代表性拱圈，确定各水平拱圈的中心轴线。计算该中心轴线各点坐标、法线方向及沿法线方向的拱厚，并将荷载换算成节点荷载作用在该轴线上，从而将一个空间体系转化成一个以各拱圈轴线表示的杆件体系，变位协调也按轴线进行，该轴线的法线方向也就是梁的剖面方向。
（2）确定拱坝参照面与悬臂梁。首先要确定参照线。参照线的选择要兼顾到各层拱圈，即在平面图上使此参照线位于所有或大多数拱圈之内。通过此线作一垂直的柱形曲面即为拱坝的参照面，如图所示:

拱坝参照面与第i层拱圈的梁位
根据“梁站在拱端上”的假定，确定悬臂梁的数目，每层拱圈的左、右拱端各布置一条悬臂梁。通过基础层拱圈轴线端点作铅垂面，并与参照面正交，连接该基础层以上各层拱圈轴线与该铅垂面的交点，即为站在该层拱圈上的梁位。
以上述铅锤面为中心，在参照面向上切取单位宽度弧段U W连接OU、OW（O为参照面在该弧段上的曲率中心），与第i层拱圈轴线分别交于UC与WC，通过UC与WC两点再作第i层拱圈轴线该弧段上的法线（径向线），分别与第i层拱圈的外弧线交于UE和WE，与内弧线交于Ut与Wt，则UCWC即为该悬臂梁水平截面的平均宽度，UEWE与UtWt所包围的面积（阴影部分）即为悬臂梁在该处的截面积。
2.荷载的划分和施加
施加到拱、梁杆件单元系统上的荷载分为外荷载和内荷载。
（1）外荷载。拱坝横缝灌浆以前施加的荷载，如坝体混凝土重量和当时已存在的少量水压力应由悬臂梁单独承担，由此引起梁的变位不参加拱梁的变位协调，计算梁的总应力时，将其产生的应力作为悬臂梁初始应力计入。拱坝封拱灌浆以后作用于坝体的各种外荷载应根据其性质分别施加到梁、拱杆件单元上，由这些外荷载引起的变位参加拱、梁的变位协调，所产生的拱梁应力为拱坝后期应力，后期应力与初始应力叠加得到总应力。拱坝封拱以后作用于坝体的各种外荷载大致可分为三类：
1）第一类荷载为需要求解的在拱梁系统上的分配荷载，可以采用单位荷载分别施加在梁与拱上。这类荷载有上游水压力（如坝顶设表孔时则不包括堰顶以上的水压力，该部分水压力只能先施加在梁上）、如泥沙压力、下游水压力、地震惯性力和动水压力等。
2）第二类荷载为不直接参与荷载分配的荷载，应分别施加在拱或梁两种体系上，这类荷载主要是造成坝体混凝土体积变化的温度变化和收缩。上下游温度梯度的变化对梁径向变位和角变位的影响列为梁的初变位中计算，均匀变温影响列入拱的初变位中计算，该两项初变位均列入变位协调方程中，影响拱梁荷载分配的计算结果。
3）第三类荷载为施工期的变化荷载，如封拱以前浇筑的坝体，其自重只能施加在梁上，不参加荷载分配，也不计算变形，自重应力只作为梁的初始应力。在封拱高程以上浇筑的坝体，其自重以及可能挡水的水压力施加在未封拱部分的悬臂梁上，梁基底内力和封拱部分坝体挡水压力参加对已封拱部分坝体的拱、梁荷载分配。
（2）内荷载。内荷载通常称为自平衡荷载，这些荷载总是成对出现，数值相等、方向相反，一个作用在拱上，一个作用在梁上。这些荷载可自由选择，只要保证作用在拱上的内荷载等于作用在梁上相应点方向相反的内荷载即可。从物理意义上讲，这些那荷载代表假定作用在拱圈和悬臂梁系统之间的相互作用力。
3.基础点荷载分配
在拱梁各节点建立的变位协调方程中，考虑到“梁是站在拱端上”假定，在基础点上拱或梁的变位均等于基础变位，不能建立方程。因此基础点上的拱、梁荷载通常按其邻点荷载采用插值近似求解而得。经验表明，这些假定对荷载分担和应力成果的影响很小。如果没有特殊要求，可以认为这种处理具有足够实用的精度。对基础点径向荷载常用的插值假定有下面三种：
（1）拱坝两岸较高处基础点的拱荷载移用相邻点的拱荷载，河谷较低处的基础点的拱荷载移用该点悬臂梁上面邻点的拱荷载。中部基础点的拱荷载可自拱或梁上的邻点移用或取两者的平均值。
（2）两岸边坡点的拱荷载按cos2ψ与sin2ψ的比例分担，ψ为岸坡角。河床底部点的拱荷载移用该点悬臂梁上邻点的拱荷载。
（3）对基础点的水平扭转荷载与切向荷载通常假定：拱坝中部和下部的基础点可从梁上的该点相邻两点线性外延或直接移用最近点的值；拱坝上部基础点荷载可自拱相邻点荷载移用或相邻点外延而得。

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